Пікірлер

Санау проблемалары мен шешімдері

Санау проблемалары мен шешімдері

Санау оңай жұмыс сияқты көрінуі мүмкін. Комбинаторика деп аталатын математика саласына тереңірек үңіле отырып, біз көптеген үлкен сандарға кезігетінімізді түсінеміз. Факториаль жиі кездесетіндіктен, мысалы 10 сияқты! үш миллионнан асып кетеді, егер барлық мүмкіндіктерді атап көрсетуге тырыссақ, санау проблемалары өте тез шешілуі мүмкін.

Кейде біз санау проблемалары шешетін барлық мүмкіндіктерді қарастырған кезде, мәселенің негізгі принциптері арқылы ойлау оңайырақ болады. Бұл стратегия бірнеше комбинацияларды немесе енгізулерді тізіп шығаруға қатыгез күшпен әрекеттенуге қарағанда аз уақытты алуы мүмкін.

«Бір нәрсені неше тәсілмен жасауға болады?» Деген сұрақ. «бір нәрсені жасауға болатын қандай жолдар бар?» деген толығымен басқа сұрақ. Біз бұл идеяны жұмыста келесі күрделі есептер жиынтығында көреміз.

Келесі сұрақтар жиынтығы ҮШІНДІК сөзін қамтиды. Барлығы сегіз әріп бар екенін ескеріңіз. TRIANGLE сөзінің дауысты дыбыстары AEI, ал TRIANGLE сөзінің дауыссыздары LGNRT екендігі түсінікті болсын. Нақты қиындық үшін, әрі қарай оқымай тұрып, осы мәселелердің нұсқасын шешусіз тексеріңіз.

Мәселелер

  1. TRIANGLE сөзінің әріптерін неше тәсілмен орналастыруға болады?
    Шешімі: Мұнда бірінші әріпке арналған сегіз таңдау бар, екіншісі үшін жеті, үшінші үшін алты және т. Б. Көбейту принципі бойынша біз 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8-ге көбейтеміз! = 40,320 түрлі тәсілдер.
  2. Егер алғашқы үш әріпті RAN (дәл тәртіпте) болуы керек болса, үшбұрыш сөзінің әріптерін неше тәсілмен орналастыруға болады?
    Шешімі: Алғашқы үш әріп біз үшін бес әріптен тұрды. RAN-дан кейін бізде келесі әріп үшін бес таңдау бар, одан кейін төрт, содан кейін үш, содан кейін екеуінде бір болады. Көбейту қағидасы бойынша 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5 болады! = Әріптерді белгіленген тәртіпте орналастырудың 120 әдісі.
  3. Егер алғашқы үш әріпті RAN (кез-келген тәртіпте) болуы керек болса, ҮШІНДІК сөзінің әріптерін неше тәсілмен орналастыруға болады?
    Шешімі: Мұны екі тәуелсіз тапсырма ретінде қарастырыңыз: біріншісі RAN әріптерін реттейді, ал екіншісі қалған бес әріпті орналастырады. 3 бар! = RAN құрудың 6 тәсілі және 5! Қалған бес әріпті ұйымдастырудың жолдары. Сонымен, барлығы 3! х 5! = TRIANGLE әріптерін көрсетілгендей ретке келтірудің 720 әдісі.
  4. Егер алғашқы үш әріпті RAN (кез-келген тәртіпте) және соңғы әріпті дауысты дыбыс болса, ҮШІНДІК сөзінің әріптерін неше тәсілмен реттеуге болады?
    Шешімі: Мұны үш тапсырма ретінде қарастырыңыз: біріншісі RAN әріптерін ретке келтіру, екіншісі I және E дыбыстарының біреуін таңдау, үшіншісі қалған төрт әріпті орналастыру. 3 бар! = RAN құрудың 6 тәсілі, қалған әріптерден дауысты дыбысты таңдаудың 2 тәсілі және 4! Қалған төрт әріпті ұйымдастырудың жолдары. Сонымен, барлығы 3! Х 2 х 4! = TRIANGLE әріптерін көрсетілгендей 288 тәсіл.
  5. Егер алғашқы үш әріп RAN (кез-келген тәртіпте), ал келесі үш әріп TRI (кез-келген тәртіпте) болуы керек болса, ҮШІНДІК сөзінің әріптерін неше тәсілмен реттеуге болады?
    Шешімі: Тағы үш тапсырмамыз бар: біріншісі RAN әріптерін реттеу, екіншісі TRI әріптерін реттеу, үшіншісі қалған екі әріптерді реттеу. 3 бар! = RAN құрудың 6 тәсілі, 3! TRI ұйымдастырудың тәсілдері және басқа әріптерді ұйымдастырудың екі әдісі. Сонымен, барлығы 3! х 3! X 2 = көрсетілгендей, үшбұрыштың орналасуының 72 әдісі.
  6. IAE дауысты дыбыстарының тәртібі мен орналасуын өзгерту мүмкін болмаса, үшбұрыш сөзінің әріптерін неше тәсілмен реттеуге болады?
    Шешімі: Үш дауысты дыбыс бірдей тәртіппен сақталуы керек. Қазір бес дауыссыз дыбыстар бар. Мұны 5-те жасауға болады! = 120 жол.
  7. Егер IAE дауысты дыбыстарының ретін өзгерту мүмкін болмаса, онда үшбұрыш сөзін әріптермен қалай орналастыруға болады (IAETRNGL және TRIANGEL қолайлы, бірақ EIATRNGL және TRIENGLA сәйкес емес)?
    Шешімі: Мұны екі қадаммен ойластырған жөн. Бірінші қадам - ​​дауысты дыбыстар өтетін жерлерді таңдау. Міне, біз сегізден үш орынды таңдаймыз және мұны істеу тәртібі маңызды емес. Бұл комбинация және барлығы бар C(8,3) = 56 қадам. Қалған бес әріпті 5-ке орналастыруға болады! = 120 жол. Бұл 56 x 120 = 6720 келісімді береді.
  8. IAE дауысты дыбыстарының ретін өзгерту мүмкін болса да, оларды орналастыру мүмкін болмаса, TRIANGLE сөзінің әріптерін неше түрлі жолмен реттеуге болады?
    Шешімі: Бұл шынымен жоғарыдағы №4-пен бірдей, бірақ әр түрлі әріптермен. Үш әріпті 3-ке бөлеміз! = 6 жол және 5-тегі қалған бес әріп! = 120 жол. Бұл реттеудің жалпы саны 6 x 120 = 720.
  9. TRIANGLE сөзінің алты әрпін неше түрлі жолмен орналастыруға болады?
    Шешімі: Біз келісім туралы сөйлесетіндіктен, бұл пермутрация және барлығы бар Қ(8, 6) = 8! / 2! = 20 160 жол.
  10. Дауысты және дауыссыз дыбыстардың саны бірдей болуы керек болса, үшбұрыш сөзінің алты әрпін неше түрлі жолмен орналастыруға болады?
    Шешімі: Біз дауыстыларды таңдайтын бір ғана әдіс бар. Дауысты дауыссыздарды таңдауға болады C(5, 3) = 10 жол. Онда 6 болады! алты әріпті ұйымдастырудың тәсілдері. Осы сандарды 7200 нәтижесі үшін көбейтіңіз.
  11. TRIANGLE сөзінің алты әрпі неше түрлі болуы мүмкін, егер кемінде бір дауыссыз дыбыс болса.
    Шешімі: Алты әріптің әр келісімі шарттарды қанағаттандырады, сондықтан бар Қ(8, 6) = 20 160 жол.
  12. Егер дауысты дыбыстар дауыссыз дыбыстармен ауысып тұрса, үшбұрыш сөзінің алты әрпін неше түрлі жолмен орналастыруға болады?
    Шешімі: Екі мүмкіндік бар, бірінші әріп - дауысты дыбыс немесе бірінші әріп - дауыссыз дыбыс. Егер бірінші әріп дауысты дыбыс болса, бізде үш таңдау бар, одан кейін бес дауыссызға, екіншісіне екінші дауысты дыбысқа, төрт екінші дауыссызға, төртеуі екінші дауыссызға, үшеуі соңғы дауысты дыбысқа арналған. Мұны 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360 алу үшін көбейтеміз. Симметрия дәлелдерінде дауыссыз дыбыстардан басталатын келісімдер саны бірдей. Бұл жалпы 720 келісімді береді.
  13. TRIANGLE сөзінен төрт әріптің неше түрлі жиынтығын құруға болады?
    Шешімі: Біз сегізден төрт әріптер жиынтығы туралы сөйлесетіндіктен, тапсырыс маңызды емес. Біз комбинацияны есептеуіміз керек C(8, 4) = 70.
  14. Екі дауысты және екі дауыссыз дыбыстан тұратын TRIANGLE сөзінен төрт әріптің неше түрлі жиынтығын құруға болады?
    Шешімі: Міне, біз екі сатыда өз жиынтығымызды қалыптастырып жатырмыз. Сонда бар C(3, 2) = Екі дауысты дыбысты таңдаудың 3 тәсілі бар C(5, 2) = қол жетімді бесеуінің ішінен дауыссыздарды таңдаудың 10 тәсілі. Бұл жалпы 3x10 = 30 жиынтықты алуға мүмкіндік береді.
  15. Егер біз кем дегенде бір дауысты дыбысты алғымыз келсе, TRIANGLE сөзінен төрт әріптің неше түрлі жиынтығын құруға болады?
    Шешімі: Мұны келесідей есептеуге болады:
  • Бір дауысты дыбыстан тұратын төрт жиынның саны C(3, 1) х C( 5, 3) = 30.
  • Екі дауысты дыбыстан тұратын төрт жиынның саны C(3, 2) х C( 5, 2) = 30.
  • Үш дауысты дыбыстан тұратын төрт жиынтықтың саны C(3, 3) х C( 5, 1) = 5.

Бұл жалпы 65 түрлі жиынтықты ұсынады. Сонымен қатар, кез-келген төрт әріптен тұратын жиынды құрудың 70 әдісі бар және оларды алып тастау мүмкіндігі бар деп есептей аламыз C(5, 4) = дауысты дыбыстарсыз жиынтық алудың 5 әдісі.